Examen de ecuaciones de 3.º de ESO resuelto, con criterios de corrección

Respuesta rápida: aquí tienes cuatro ejercicios de un examen de la unidad de ecuaciones de 3.º de ESO (ecuaciones con paréntesis y denominadores, ecuaciones de segundo grado y dos problemas), con la solución de cada uno y cuántos puntos vale cada paso. Salen del modelo 1 del banco de exámenes de AulaDual, que tiene ocho ejercicios, suma 10 puntos y dura unos 50 minutos.

Qué evalúa este examen

• Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y con denominadores.
• Resolver ecuaciones de segundo grado, completas e incompletas.
• Plantear y resolver problemas con ecuaciones de primer y segundo grado, y comprobar que la solución tiene sentido.

Ejercicio 1 (1,5 puntos)

Resuelve las ecuaciones:

a) $3(2x - 5) - 4(x - 1) = 7 - (x + 3)$

b) $\dfrac{x - 3}{4} - \dfrac{2x + 1}{6} = \dfrac{x}{3} - 2$

Solución: a) $x = 5$; b) $x = \dfrac{13}{5}$

• a) Quitamos paréntesis: $6x - 15 - 4x + 4 = 7 - x - 3 \Rightarrow 2x - 11 = 4 - x \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.
• b) El m.c.m. de 4, 6 y 3 es 12. Multiplicamos todos los términos por 12: $3(x - 3) - 2(2x + 1) = 4x - 24 \Rightarrow -x - 11 = 4x - 24 \Rightarrow x = \dfrac{13}{5}$.

Criterios de corrección:

Paso	Puntos
a) Quita los paréntesis con los signos correctos	0,25
a) Agrupa, reduce y obtiene $x = 5$	0,25
b) Multiplica todos los términos por 12, con los numeradores entre paréntesis	0,4
b) Quita los paréntesis cuidando el signo menos delante de la fracción	0,3
b) Reduce, despeja y obtiene $x = \dfrac{13}{5}$	0,3

Ejercicio 2 (1,5 puntos)

Resuelve las ecuaciones:

a) $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^2 + 3x}{4} = x$

b) $(x + 2)^2 - 3(x + 1) = 2x + 7$

Solución: a) $x = 0$ y $x = 7$; b) $x = 3$ y $x = -2$

• a) Multiplicando por 4: $2x^2 - x^2 - 3x = 4x \Rightarrow x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(x - 7) = 0$.
• b) $x^2 + 4x + 4 - 3x - 3 = 2x + 7 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$.

Criterios de corrección:

Paso	Puntos
a) Quita denominadores y llega a $x^2 - 7x = 0$	0,25
a) Saca factor común y obtiene $x = 0$ y $x = 7$	0,25
b) Desarrolla bien la identidad notable y el paréntesis	0,4
b) Llega a la forma general $x^2 - x - 6 = 0$	0,2
b) Aplica la fórmula con $a$, $b$ y $c$ correctos	0,2
b) Obtiene $x = 3$ y $x = -2$	0,2

Ejercicio 3 (1,5 puntos): problema de movimiento

Un ciclista sale de Aranjuez por una carretera a 18 km/h. Cuarenta minutos más tarde sale una moto desde el mismo sitio y por la misma carretera a 54 km/h. ¿Cuánto tarda la moto en alcanzar al ciclista? ¿A qué distancia de Aranjuez lo alcanza?

Solución: la moto tarda 20 minutos y lo alcanza a 18 km de Aranjuez.

Si $t$ es el tiempo en horas que tarda la moto, el ciclista lleva $t + \dfrac{2}{3}$ horas en marcha. Cuando lo alcanza, han recorrido la misma distancia: $54t = 18\left(t + \dfrac{2}{3}\right) \Rightarrow 36t = 12 \Rightarrow t = \dfrac{1}{3}$ h, es decir, 20 minutos. La distancia es $54 \cdot \dfrac{1}{3} = 18$ km.

Criterios de corrección:

Paso	Puntos
Elige la incógnita y expresa el tiempo del ciclista ($t + \dfrac{2}{3}$ h)	0,4
Plantea que las distancias son iguales	0,5
Resuelve: $t = \dfrac{1}{3}$ h = 20 min	0,4
Responde con la distancia, 18 km	0,2

Ejercicio 4 (1,5 puntos): problema de segundo grado

Al empezar el curso, cada alumno de una clase escribe una nota de bienvenida a cada uno de sus compañeros (a todos menos a sí mismo). En total se escriben 600 notas. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

Solución: 25 alumnos.

Si hay $x$ alumnos, cada uno escribe $x - 1$ notas: $x(x - 1) = 600 \Rightarrow x^2 - x - 600 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 \pm 49}{2}$, así que $x = 25$ o $x = -24$. Como el número de alumnos es natural, hay 25 alumnos. Comprobación: $25 \cdot 24 = 600$.

Criterios de corrección:

Paso	Puntos
Razona que cada alumno escribe $x - 1$ notas	0,3
Plantea $x(x - 1) = 600$	0,5
Resuelve: 25 y −24	0,4
Descarta −24 y responde: 25 alumnos	0,3

Errores frecuentes al corregir

• El signo menos delante de una fracción. En el ejercicio 1b, muchos alumnos escriben $-2(2x + 1)$ como $-4x + 2$. Es el error que más puntos cuesta.
• Dividir entre $x$ en una ecuación incompleta. En el ejercicio 2a, quien divide entre $x$ pierde la solución $x = 0$.
• No descartar la solución negativa en los problemas: en el ejercicio 4 hay que decir por qué −24 no vale.

Más modelos como este

Este examen es uno de los 10 modelos de la unidad de ecuaciones del banco de AulaDual, que tiene exámenes de cada unidad de Matemáticas y Física y Química de ESO y Bachillerato, con soluciones y criterios. Desde ahí puedes imprimirlo con el número de cada alumno y corregirlo con IA: la app propone la nota con estos mismos criterios y tú revisas lo dudoso. Lo puedes ver en el ejemplo, sin cuenta.

Y si te preguntas cuánto tiempo se va en corregir exámenes como este, mira los datos de TALIS sobre corrección y preparación de clases.

Preguntas frecuentes

¿Qué ecuaciones entran en el examen de 3.º de ESO?

Normalmente ecuaciones de primer grado (con paréntesis y denominadores), ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, y problemas que se resuelven con ellas. Algunos profesores incluyen también ecuaciones que se resuelven factorizando.

¿Cuánto dura un examen de ecuaciones de 3.º de ESO?

El modelo completo, con ocho ejercicios y 10 puntos, está pensado para una sesión de unos 50 minutos. Con solo estos cuatro, unos 30 minutos.

¿Cómo se puntúa un problema de ecuaciones?

Lo habitual es dar puntos por separado al planteamiento, a la resolución y a la respuesta con su comprobación. Así un error de cálculo no anula un buen planteamiento.

¿Puedo usar este examen en clase?

Sí. Puedes copiarlo para tus clases. En AulaDual tienes además otros nueve modelos de esta unidad para que cada grupo haga uno distinto.